特性方程式 c=pc+qって何？

こんにちは。カテナリーです。
数学検定準１級の漸化式の単元で「\( c = pc +q \)が成り立つので～」みたいな解説を
唐突に出されて困惑してしまったので、今回はこの式についてまとめてみます。
ポイントは次の通り。

特性方程式って？

一言で言うと「漸化式を簡単な形に出来る便利な式」です。

適した数式にしか使えないので必ず使えるわけではないですが、
知っておけばその分時間短縮にも使えますし、間違いは減ると思います。
今回フォーカスを当てている\( c = pc + q\)もその一つです。
他にもあると思うのですが、今回は知りえているこの式だけで許してください・・・。

c=pc+qについて

標題にもある\( c = pc + q\)は以下の漸化式で使えます。

$$ a_{n+1} = p a_{n} + q $$

特性方程式のp,qは漸化式のp,qと対応しています。
ここで(漸化式)-(特性方程式)を計算すると次のような式になります。

$$ a_{n+1} – c = p ( a_{n} – c ) $$

これは数列\( a_{n} – c \)の等比数列であると考えることができるようになります。
複雑に見える漸化式があっという間に見慣れた形になりましたね。

これで一般項を求めることが簡単になるわけですが、
なぜこの特性方程式が使えるのか先日勉強していてなんとも腑に落ちなかったので
再度勉強してみました。

特性方程式が出来る理由

与えられている漸化式が簡単になったのは\( a_{n} – c \)の等比数列に変形できたからでした。
で、先ほどの理想の形である\( a_{n+1} – c = p ( a_{n} – c ) \)を展開すると

$$ a_{n+1} = p a_{n} – pc + c $$

となります。ここで元々の漸化式と見比べると

\( a_{n+1} \)の係数は1、\( a_{n} \)の係数はpで等しく、それ以外は
\( -pc + c = q\)と考えることができます。

この\( -pc + c = q\)は変形すると\( c = pc + q\)とでき
ここまで紹介してきた特性方程式と同じとすることができます。

今回の漸化式において特性方程式が出来る理由は、
等比数列に持っていくことが可能だから、と考えて良さそうです。

もっと言うと「別にそんな式覚えなくても\( a_{n+1} – c = p ( a_{n} – c ) \)の形に
出来ればいいじゃないか」とも言えるので覚えなくてもよいと考えることも・・・。
自分は特性方程式もいいですが等比数列へのアプローチを覚える方が良さそうかなぁと
感じました。式一つ覚えておくことにそんなに損得はないとは思いますが、
「これで時間短縮は出来るんだよ」という認識でいいかなと個人的には思いました。

まとめ

特定の漸化式に対して使うことができる特性方程式。今回はその代表格について紹介しました。
特性方程式だけ紹介されても「いきなり出されても困る。なぜそうなる？」と
解説見てて頭を悩ませた分野ではあったのでこうしてまとめることができ納得は出来ました。

\( a_{n+1} = p a_{n} + q \)が出たら等比数列の形に落とし込む！

以上、今回はここまで。