カテナリーです。
ブログのことを忘れていたり、
体調不良などが重なりしばらく更新が滞っていました。
今回も数学の作問をしてみました。
テーマは「倍数・約数と素因数分解」です。
最後の問題はかなり計算量が問われるものになっています。
ぜひ挑戦してみてください。
以下、答え・解説
問１ 普通に計算しましょう
(1) 2×2×17
(2) 3×3×3×5
(3) 2×2×2×5×5
(4) 2×5×7×13
問２
二つの数の約数と倍数を列挙します
列挙した約数で共通する最大の数が最大公約数、
２倍、３倍…と列挙した数で共通する最小の数が最小公倍数。
（以下解説用に表を設けますが、あまり見ないような
表の書き方をしているので解くときは約数と倍数で
それぞれ表を作りましょう）
(1) 最小公倍数12、最大公約数4
太字になっているところが最大公約数および最小公倍数。
倍数に関しては24、36、48も公倍数ですが、
これは一番小さくないので間違いとなります。
(2) 最小公倍数2000、最大公約数5
約数はまだ大丈夫ですが倍数を数える量が多いので大変です。
125の倍数と80の倍数の中で共通する素因数を持つような、
最小公倍数を見つける必要があります。
以下のように考えます。
①２つの数を素因数分解をする
\( 80 = 2×2×2×2×5 = 2^4 × 5^1 \)
\( 125 = 5×5×5 = 5^3 \)
②それぞれの素因数の中で一番大きい指数の数を考える
２→ 80の素因数分解より４個 \( ( 2^4 ) \)
５→ 125の素因数分解により３個 \( ( 5^3 ) \)
③求めた素因数と指数で積を求めると125の倍数かつ80の倍数である
最小公倍数を求めることができる
\( 2^4 × 5^3 = 2000 \)
最小公倍数はこれ以外の解法もあります。
（ユークリッドの互除法やすだれ算）
問３ 18個
自然数mまでの整数のうち、nの倍数である数がいくつあるかは
mをnで割った時の商の数となります。
例）１から５０までの整数で６の倍数である数は
\( 50÷6 = 8 あまり 2 \) となるので８個
５４の倍数は１８の倍数でもあるので、
１８の倍数の個数から５４の倍数の分だけ引き算をすれば正解です。
18の倍数→２７個
54の倍数→９個
18の倍数かつ54の倍数でない→27-9=18
よって18個が正解
問４ \( 54^3 \)
今までの問題と比べて計算量が膨大ですが頑張りましょう。
素因数分解をして出てきた同じ素因数を３つずつ分けましょう。
157464 = 2×2×2×3×3×3×3×3×3×3×3×3
2が3個、３が9個となるので次のように表すことができます。
157464 = \( 2^3 × 3^9 \)
157464 = \( 2^3 × 3^3 × 3^3 × 3^3 \)
157464 = \( (2×3×3×3)^3 \)
よって、
157464 = \( 54^3 \)
解説は以上となります。
今回は前回よりも少し計算量が多めの出題になりました。
次回は中1の範囲「一次方程式」から作問予定です。
それでは。
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